Retour sur une opération mathématique : le logarithme
Vous avez pu vous demander un jour, en classe, comment les logarithmes pourront-ils m’être utiles plus tard, dans la vie quotidienne ? Nous nous posons tous et toutes cette question à un moment ou à un autre…
Quelle est la définition du logarithme ? Un logarithme est un outil mathématique qui nous aide à résoudre des problèmes liés à la croissance exponentielle ou à la réduction d’échelle. Plus simplement, il nous indique combien de fois il faut multiplier un certain nombre (qu’on appelle « base« ) par lui-même pour obtenir un autre nombre donné. Les logarithmes sont utiles pour simplifier des calculs complexes et pour évaluer des phénomènes qui varient sur de grandes échelles.
Bon, je sais, les maths 🧮, c’est un peu énervant. Et probablement, vous n’étiez pas super bons à l’école. Enfin, c’est ce qu’en disent la majorité de gens que j’ai interrogés en sondage. En fait, c’est un biais, selon ce que j’ai recueilli : vous êtes 50% à avoir aimé les maths, et donc 50% à avoir détesté. Toutefois, même si vous aviez détesté, certains et certaines d’entre vous avaient tout de même du talent en mathématiques !
Alors, j’ai décidé de parler un peu maths sur le blog. Car je trouve que c’est ce qui m’a manqué le plus pendant mon adolescence : une façon ludique de parler des mathématiques.
Voici de logarithmes sous une forme graphique, avec trois courbes simples pour les logarithmes en base 2, ceux en base 10 et les exponentielles e :
Voici un site web pour comprendre les logarithmes de façon dynamique [lien ici 👈 ]
Précisions : dans les exemples de cet article, les opérations sont très petites, cependant les logarithmes existent pour les opérations avec de très grands nombres.
En d’autres termes et pour faire plus simple :
Mettons-nous en situation de classe. Je vais faire comme si j’étais la prof 👩🏫. Permettez-moi de vous tutoyer pour l’occasion. Écoute bien.
Imagine que tu as une boîte magique qui peut te dire combien de fois un nombre doit être multiplié par lui-même pour obtenir un autre nombre.
Par exemple, si tu as le nombre 2 dans ta boîte, et tu veux savoir combien de fois, tu dois le multiplier par lui-même pour obtenir 8, ta boîte te dirait que c’est 3 fois.
Parce que 2 multiplié par lui-même 3 fois (2 x 2 x 2) donne 8.
Les logarithmes sont comme les instructions pour faire ce genre de calculs magiques à l’envers. ✍🏽 Au lieu de demander combien de fois tu dois multiplier un nombre donné, les logarithmes te disent combien de fois tu dois diviser un nombre par lui-même pour obtenir un autre nombre.
🍕 C’est comme si tu voulais savoir combien de fois tu devrais partager une pizza pour obtenir une certaine quantité de parts. Les logarithmes sont une façon spéciale de comprendre ces opérations magiques en mathématiques !
Comment écrit-on l’opération logarithmique ?
Maintenant, imagine que tu as une super machine à calculer spéciale. Si tu mets le nombre 10 dans cette machine et tu veux savoir combien de fois tu dois partager ce nombre par 2 pour obtenir 1, ta machine te dirait que c’est 3 fois.
Alors, on écrit ça d’une manière spéciale : log₂(10) = 3.
Le « log₂ » est comme une formule magique qui nous dit que nous avons partagé le nombre par 2, et le « 10 » à côté signifie le nombre que nous avons mis dans la machine (ou la boîte magique). Et le « 3 » nous dit combien de fois nous avons partagé ce nombre pour obtenir 1.
🔮 C’est comme si la machine effectuait une opération magique avec des nombres, mais en utilisant des symboles spéciaux pour nous aider à comprendre le tour de passe-passe.
Comment utilise-t-on les logarithmes au quotidien ?
Les logarithmes sont utilisés dans différentes situations de la vie quotidienne, souvent sans que nous nous en rendions compte. Ils sont essentiels pour calculer des opérations complexes. Par exemple :
- Mesure du son : L’échelle des décibels (dB) est basée sur les logarithmes. Elle est utilisée pour mesurer le volume du son, comme dans les appareils électroniques, les concerts, et même pour évaluer le bruit environnant.
- Échelle de Richter pour les tremblements de terre : Cette échelle utilise des logarithmes pour mesurer la puissance d’un tremblement de terre. Un tremblement de terre de magnitude 6 est 10 fois plus puissant qu’un de magnitude 5.
- Mesure du pH : L’échelle du pH, utilisée pour mesurer l’acidité ou l’alcalinité d’une substance, est basée sur les logarithmes. Un pH de 3 est 10 fois plus acide qu’un pH de 4.
- Croissance exponentielle : Les logarithmes sont utilisés pour comprendre la croissance exponentielle, comme la population mondiale ou la croissance d’un investissement financier.
- Calcul de demi-vie en science : En chimie et en physique, les logarithmes sont utilisés pour calculer la durée nécessaire pour que la moitié d’une substance radioactive se désintègre.
- Calculs financiers : Dans les calculs d’intérêts composés, les logarithmes aident à comprendre comment l’argent peut croître au fil du temps.
- Sciences et recherche : Les logarithmes sont utilisés pour rendre des données très étendues plus faciles à gérer et à visualiser. Par exemple, en astronomie, pour mesurer les échelles d’étoiles, ou en biologie, pour quantifier la concentration de substances dans les cellules.
- Graphiques et visualisation des données : Les graphiques logarithmiques sont utilisés pour montrer des données qui varient sur un très large éventail, comme les graphiques de population ou de revenus.
Tout cela montre que les logarithmes sont des outils puissants pour comprendre des phénomènes qui varient beaucoup en taille ou en ampleur, et ils sont présents dans de nombreux domaines de la science, des mathématiques et de la vie quotidienne.
Un exemple supplémentaire d’opération logarithmique :
L’échelle de Richter mesure l’intensité d’un tremblement de terre. Supposons qu’il y ait eu un tremblement de terre dont l’intensité est de 1000 fois plus grande que celle d’un autre tremblement de terre. Pour exprimer cela en termes de logarithmes, nous pouvons utiliser le logarithme en base 10.
Si nous appelons l’intensité du premier tremblement de terre « A » et celle du deuxième « B« , alors nous avons l’équation, B égal à 1000 fois A :
B = 1000 * A
Maintenant, prenons les logarithmes en base 10 des deux côtés de l’équation :
log(B) = log(1000 * A)
En utilisant la propriété des logarithmes selon laquelle log(a * b) = log(a) + log(b), nous pouvons simplifier davantage :
log(B) = log(1000) + log(A)
D’ailleurs, pour te souvenir de formules ou d’éléments difficiles à mémoriser, sur ce blog, je parle de technique de mémorisation, ou dans cet article sur une application pour t’aider à mémoriser, ainsi que dans cet e-book à destination des apprenants et étudiants.
Et puisque log(1000) = 3 (parce que 10^3 = 1000, 10 puissance 3 est égal à 1000), nous avons :
log(B) = 3 + log(A)
Cela signifie que l’intensité du tremblement de terre B est égale à 3 plus le logarithme en base 10 de l’intensité A.
En utilisant cette méthode, l’échelle de Richter quantifie les différences d’intensité des tremblements de terre de manière plus compréhensible sur une échelle logarithmique, car les tremblements de terre de magnitude supérieure ne sont pas simplement « plus forts », mais ont une intensité qui augmente de manière exponentielle. On peut ensuite retranscrire cela dans un graphique grâce à une courbe.
Pour aller plus loin :
- Échelle de Richter : définition (source l’image Échelle de Richter https://www.aquaportail.com/definition-7731-echelle-de-richter.html)
Je ne suis pas HPI 